Razonamiento Matemático y Paradoja
Para poder calcular matemáticamente el instante exacto en que las agujas minutera y horaria se vuelven a juntar después de las 12:00:00 sería necesario resolver un sistema de ecuaciones con la velocidad angular de ambas manecillas o bien recurrir a una resolución vía el Cálculo Diferencial.
Para obviar ello se puede recurrir a la simple deducción matemática por aproximaciones, la cuál no será rigurosamente exacta pero, en la práctica entrega una buena aproximación:
Para realizar este análisis se supone que el reloj es un stopwatch o cronometro de paradas; se detiene a las 12:00:00 y se pone en marcha:
12:00:00 - Se pone en marcha , la manecilla minutera partirá adelante y dará un giro completo equivalente a 1 hora ó 60 minutos..al cabo del cuál será la siguiente hora:
13:00:00 - cuando dé una vuelta completa (360º) equivalente a 60minutos la manecilla minutera estará en las 12 y , la manecilla horaria estará en las 13, es decir 30º más adelante y con un equivalente de 5 minutos de ventaja respecto de la horaria.
Para poder alcanzar a la manecilla horaria, se pone a andar el reloj por esos 5 minutos de ventaja, a fin de alcanzarla y se detiene el tiempo…
13:05:00 - La manecilla minutera avanzó los 30º que la separaban de la horaria pero, la manecilla horaria también avanzó , el equivalente a 1/12 del ángulo de 30º entre las 13 y las 14 ( 0,08333 horas = 2,5º ) , esos 2,5 º equivalen a 0,41667 minutos, es decir 25 segundos adelante que la minutera (en tiempo) .
A fin de alcanzar a la manecilla horaria se vuelve a poner a andar el reloj durante el tiempo de ventaja que lleva la horaria sobre la minutera = 25 segundos.
13:05: 25 - Se detiene nuevamente el reloj y se observa lo siguiente:
Las manecillas están casi juntas … pero aún falta:
Efectivamente durante esos 25 segundos de avance de ambas manecillas, la minutera llegó hasta donde estaba la horaria anteriormente … pero la horaria avanzó también , el equivalente a un ángulo de 0,20833 ° , equivalente a 2,083333 segundos.
Se vuelve a poner en funcionamiento el reloj durante esos 2,08333 segundos y se detiene el reloj …. Lo que determina la siguiente lectura:
13:05:27: 8/100: 0,0033 centésimas
Es decir la minutera está a 0,00333 centésimas de segundo adelante (lo cuál en términos geométricos es despreciable), pero aún falta por alcanzarla…
Se puede estar en forma infinita tratando por este método de llegar al tiempo exacto en que ambas agujas están exactamente alineadas… Y NUNCA LLEGAREMOS A DETERMINARLA EXACTAMENTE … Ello constituye, desde el punto de vista matemático un “Límite” y es la base| del Cálculo Diferencial e Integral .
Podemos estimar por lo tanto que a las 13 horas , 5 minutos, 27 segundos y 8 centésimas se vuelven a juntar las manecillas horaria y minutera… ¡ Aproximadamente!
Esta determinación se asemeja a la paradoja matemática de la carrera entre la liebre y la tortuga, donde la tortuga comienza con una determinada ventaja y a pesar que la liebre va más rápido … nunca parece alcanzar a la tortuga…
Los que han estudiado Física y a Einstein saben de qué se trata este problema de “Tiempo y relatividad” .
Acerca de la otra pregunta , del angulo de 180° entre ambas manecillas, aparentemente ocurre a la mitad del tiempo anterior, pero cada uno debiera intentar calcularlo...:666::666:
